请看如下问题：

　　张先生做基金定投十年，每月投入资金一千元(基金设为红利再投资)，十年累计投资12万元。十年后赎回，实际市值为24万元。请问张先生投资的平均年收益率是多少？

　　这个问题貌似简单。不过我估计几乎没有人能对这个问题或类似的问题简单通过“心算”得到答案，因为这里面包含“每个月”的投资和“每个月”投资的“复利效应”。仔细思考后您就会发现，它其实是一个非常复杂的函数。

　　如果是简单总收益率，谁都知道答案是100% ((24/12-1)*100% = 100%)。

　　因为有“复利效应”，每年平均收益率，当然不是简单的 100%除以10年，得到10%的年平均收益。

　　那么是不是这么计算？因为一共投资了十年，也就是说第一笔钱投资了120个月，第二笔钱投资了119 个月..............最后一笔钱投资了0个月。所以平均下来，相当于所有的钱投资了60个月(五年)。所以年平均收益率是100%除以5年，结果是每年20%。

　　这个计算方法也是错误的。

　　为什么呢？因为市场的“复利效应”是指数增长，而且是“每月”都应该计算利润；上述计算方法只是“算术平均”，当然得不到正确的结果。看一下就知道，每个月的投资在下个月都产生“复利”，在这种算法中并没有被包括进去。

　　正确的计算方法是这样的：

　　假设定期投资中的“月平均收益率”是x；那么年平均收益率是(1+x)^12-1；也就是一年12个月，每月产生复利(共产生12次)后，扣除成本。

　　因为定投中是“每月”进行投资的，所以最精确的算法要精确到“月平均收益率”，然后通过“月平均收益率”换算得到“年平均收益率”。

　　取张先生每月投资的金额为“a”(其实可以是任意单位)，那么张先生：

　　最后一个月 投资的钱在赎回时市值是：a

　　倒数第二个月投资的钱在赎回时市值是：a*(1+x)

　　倒数第三个月投资的钱在赎回时市值是：a*(1+x)^2 (经过两个月的“复利效应”)

　　倒数第四个月投资的钱在赎回时市值是：a* (1+x)^3 (经过三个月的“复利效应”)

　　..............

　　依此类推

　　..............

　　倒数第n个月的钱在赎回时市值是：a* (1+x)^(n-1)

　　.......

　　在赎回时，张先生得到的总金额是以上所有月份投资的钱，在赎回时的市值的总和：

　　a*(1+(1+x)+(1+x)^2 + ... + (1+x)^(n-1))。

　　以上其实不仅仅局限于上述问题中“投资十年”情形；n 可以是任意自然数。

　　我们将上述市值总和记为 “A”，也就是：

　　A = a*(1+(1+x)+(1+x)^2 + ... + (1+x)^(n-1))

　　学过“等比级数”的人知道(高中数学知识)，上述右侧其实是一个“等比级数”。这里分两种情形讨论：

　　(1)如果 A=a*n；这种情况下就是投资的收益为零，自然收益率也为零；因为非常简单，就不详细说了。(之所以仍然要提到这种情况，是从理论“解方程”的角度出发，是必须要考虑这种情形的，否则程序会出错。)

　　(2)如果收益率不为零的情况下，不管是正收益还是负收益：

　　对上述“等比级数”“求和”，其结果是：

　　A = a*((1+x)^n-1)/((1+x)-1);

　　也就是：

　　A = a*((1+x)^n-1)/x;

　　也就是：

　　(1+x)^n - (A/a)x - 1 = 0

　　解上述“一元n次方程”，得到的解(x的值)，就是“月平均收益率”，然后通过“月平均收益率”用“(1+x)^12-1”，可以换算得到“年平均收益率”。

　　需要说明的是，上述“一元n次方程”并不是“手到擒来”可以解的；比方说投资十年，n的值是120，对一个“一元120次方程”，想得到一个简单的解析答案，即使是最好的数学家也没有多少办法。

　　感谢现在的计算机技术和编写程序手段，使得我们对上述方程能很方便得到一个数值解。

　　对于举例中的张先生的情形，解得的结果是，张先生这十年定投里，获得的“月平均收益率”是1.06%，对应的“年平均收益率”是13.48%。

　　如果是简单将10年定投折算成“所有的钱平均投资5年”，仍考虑复利，得到的“年平均收益率”是: 2^(1/5) - 1=14.87%。这个结果虽然略有高估，但与正确答案已经相去不远了。